[原创]高等代数问题解答64

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[原创]问题解答50

1. 高等代数问题解答50 Example 1. (苏州大学2011)$A$为$n$阶可逆实对称阵,$B$为$n$阶实反对称阵,$AB=BA.$证明$A+B$可逆. \textbf{证明:} (法1)可知 $AA^T$正定,$BB^T=-B^2$半正定,故 $$AA^T+BB^T=A^2-B^2$$ 正定. 于是 $$(A+B)(A+B)^T=(A+B)(A-B)=A^2-B^2$$ 故结论成立. (法2)反证法.否则方程组$(A+B)x=0$有非零解.设为$y.$则由$A$可逆及$AB=BA$可得 $$0=y^{T}(A+B)^{T}(A+B)y=y^{T}(A^{T}-B)(A+...

[原创]问题解答49

1. 高等代数问题解答49 Example 1. % 设$a_{ij}(t)(i,j=1,2,\cdots,n)$都是变量$t$的可微函数,则 $$\dfrac{d}{dt} \begin{vmatrix}% a_{11}(t)&a_{12}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\ a_{21}(t)&a_{22}(t)&\cdots&a_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ a_{n1}(t)&a_{n2}(t)&\cdots&a_{nn}(t)\\ \end{vmatrix} =\sum_{i=1}^{n} \begin{vmatrix}% a_...

[原创]问题解答37

1. 高等代数问题解答37 Example 1. 计算行列式 $$D=\begin{vmatrix} x&y&z&a&b&c\\ z&x&y&c&a&b\\ y&z&x&b&c&a\\ a&b&c&x&y&z\\ c&a&b&z&x&y\\ b&c&a&y&z&x \end{vmatrix}$$ \textbf{解:}分块计算,如下: $$\begin{vmatrix} A&B\\ B&A \end{vmatrix} =\begin{v...
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