[原创]带余除法定理的应用

1. 带余除法定理的应用 Example 1. (西南师大03)设多项式$f(x)$被$(x-1),(x-2),(x-3)$除后,余式分别为4,8,16.试求$f(x)$被$(x-1)(x-2)(x-3)$除后的余式. \textbf{解:}设$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)q(x)+ax^2+bx+c$,则 \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} 4=f(1)=a+b+c \\ 8=f(2)=4a+2b+c\\ 16=f(3)=9a+3b+c \end{aligned} \right. \end{equation*} 解得$a=2,b=-2,c=4$,故所求的余式为$2x^2-2...

[原创]高等代数问题解答68

1. 高等代数问题解答68 Example 1. 设$n$阶矩阵 $$A=\begin{pmatrix}% a_{1}&1&0&\cdots&0\\ a_{2}&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ a_{n-1}&0&0&\cdots&1\\ a_{n}&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}.$$ (1)证明至少可以找到一个向量$X\in R^{n},$使得向量组$X,AX,A^{2}X,\cdots,A^{n-1}X$线性无关; (2)如果$n$阶矩阵$A$与对角线上元素为$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_...

[原创]高等代数问题解答66

1. 高等代数问题解答66 Example 1. % (云南大学2005)设$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$与$g(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$为实二次型,$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$正定.证明:在$R^{n}$中,方程组 $\left\{ \begin{aligned}% f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})&=1\\ g(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})&=1 \end{aligned} \right.$无解的充要条件是$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})-g(x_{1},x_{2},\cdots,x_...

[原创]矩阵的秩

专题:矩阵的秩 高等代数资源网 05/15/2014 1. 声明 您现在看到的这份文件来自http://www.52gd.org.本站原创的内容,采用创作共用组织(Creative Commons)的“公共领域”(Public Domain)许可。即放弃一切权利,全归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。 本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何承诺,作者不对因使用本文而造成的一切后果承担任...

第五届全国大学生数学竞赛非数学类与数学类决赛试卷及官方解答

资料来自网络,仅供学习。 第五届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试卷 链接: http://pan.baidu.com/s/1gd0zphp 密码: c3pw 第五届全国大学生数学竞赛非数学类决赛答案与评分细则 链接: http://pan.baidu.com/s/1jGn1Udg 密码: 0g3y 第五届全国大学生数学竞赛决赛数学类一、二年级试题 链接: http://pan.baidu.com/s/13rpZS 密码: k2v8 第五届全国大学生数学竞赛决赛数学类一、二年级试题答案 链接: http://...

[原创]问题解答62

1. 高等代数问题解答62 Example 1. % 设$g(x)=x^{2}-4x+a,$如果存在唯一的多项式$f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d,$使得$g(x)|f(x),$且$f(x)|g^{2}(x).$试求$f(x)$的表达式. \textbf{解:} 由$g(x)|f(x),$以及$f(x),g(x)$分别为首项系数为1的3次与2次多项式,可设 $$f(x)=g(x)(x-\alpha),$$ 同样,由$f(x)|g^{2}(x),$以及$g^{2}(x)$是首项系数为1的4次多项式,可设 $$g^{2}(x)=f(x)(x-\beta),$$ 于是 $$g^{2}...

[原创]问题解答61

1. 高等代数问题解答61 Example 1. % (2012年大学生数学竞赛预赛)设实矩阵$ A=\begin{pmatrix}% 2&2\\ 2&a \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}% 4&b\\ 3&1 \end{pmatrix}.$证明: (1)矩阵方程$AX=B$有解但$BY=A$无解的充要条件是$a\neq2,b=\dfrac{4}{3}.$ (2)(西南大学2013)$A$相似于$B$的充要条件是$a=3,b=\dfrac{2}{3}.$ (3)(西南大学2013)$A$合同于$B$的充要条件是$a<2,b=3.$...
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