[原创]高等代数问题解答81

1. 高等代数问题解答81 Example 1. 设$A,B$为$n$阶实对称矩阵,若$AB+BA$为正定矩阵,求证$r(A)=r(B)=n$. \textbf{证明:}(法1)只证明$r(A)=n$.反证法,若$r(A)<n$,则线性方程组$Ax=0$有非零解,设为$x_0,$即$Ax_0=0,x_0\neq0,$于是$x_0^TA=0,$由$AB+BA$为正定矩阵有 $$0<x_0^T(AB+BA)x_0=x_0^TABx_0+x_)^TBAx_0=0,$$ 矛盾.所以结论成立. (法2)设$\lambda$为$A$的任一特征值,$\alpha$为对应...
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