[原创]高等代数问题解答81

1. 高等代数问题解答81 Example 1. 设$A,B$为$n$阶实对称矩阵,若$AB+BA$为正定矩阵,求证$r(A)=r(B)=n$. \textbf{证明:}(法1)只证明$r(A)=n$.反证法,若$r(A)<n$,则线性方程组$Ax=0$有非零解,设为$x_0,$即$Ax_0=0,x_0\neq0,$于是$x_0^TA=0,$由$AB+BA$为正定矩阵有 $$0<x_0^T(AB+BA)x_0=x_0^TABx_0+x_)^TBAx_0=0,$$ 矛盾.所以结论成立. (法2)设$\lambda$为$A$的任一特征值,$\alpha$为对应...

[原创]高等代数问题解答80

1. 高等代数问题解答80 Example 1. 设$A$为$n$阶实对称矩阵,$C$为$n$阶实矩阵,求证$B=\begin{pmatrix} A&C^{T}\\ C&0 \end{pmatrix}$为半正定矩阵的充要条件是$A$半正定且$C=0$. \textbf{证明:}充分性.显然. 必要性.首先, $A$的各阶顺序主子式是$B$的前$n$阶顺序主子式,由$B$半正定可知$B$的前$n$阶顺序主子式大于等于0,从而$A$半正定.其次半正定矩阵的一个对角元为0,则该对角元所在的...

[原创]高等代数问题解答66

1. 高等代数问题解答66 Example 1. % (云南大学2005)设$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$与$g(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$为实二次型,$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$正定.证明:在$R^{n}$中,方程组 $\left\{ \begin{aligned}% f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})&=1\\ g(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})&=1 \end{aligned} \right.$无解的充要条件是$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})-g(x_{1},x_{2},\cdots,x_...

[原创]高等代数问题解答16-1

Example 1. % 设$A$是$n$阶正定矩阵,$X,Y$是$n$维实列向量且满足$X^{T}Y>0.$证明: $$M=A+\dfrac{XX^{T}}{X^{T}Y}-\dfrac{AYY^{T}A}{Y^{T}AY}$$ 也是正定矩阵. \textbf{证明:}易知$Y\neq0,$从而$Y^{T}AY>0.$$\forall Z\in R^{n},Z\neq0,$有 $$\begin{aligned}% &Z^{T}MZ\\ =&Z^{T}AZ+\dfrac{Z^{T}XX^{T}Z}{X^{T}Y}-\dfrac{Z^{T}AYY^{T}AZ}{Y^{T}AY}\\ =&\dfrac{X^{T}Y[(Z^{T}AZ)(Y^{T}AY...

[原创]问题解答56

1. 高等代数问题解答56 Example 1. % (西南大学2006)设$A$为$n$阶实对称矩阵,证明:$A$为半正定矩阵的充要条件是对任意的$n\times m$实矩阵$B,$有$B^{T}AB$半正定. \textbf{证明:}必要性.显然$B^{T}AB$是实对称矩阵.$\forall X\in R^{m},$由$A$半正定有 $$X^{T}(B^{T}AB)X=(BX)^{T}A(BX)\geq0,$$ 从而$B^{T}AB$半正定. 充分性.(法1)$\forall X\in R^{n},$令$B=(X,0,\cdots,0)_{n\times m},$由条件...

[原创]问题解答42

1. 高等代数问题解答42 Example 1. (浙江师范大学2011)设$A$是$n\times s$列满秩实数矩阵,$r(A)=s.$证明: (1)$A^{T}A$是正定矩阵; (2)$A(A^{T}A)^{-1}A^{T}$是半正定矩阵; (3)存在$n\times s$列正交矩阵$Q$($Q$的列向量是两两正交的单位向量,$Q^{T}Q=E_{s}$.),使得$A(A^{T}A)^{-1}A^{T}=QQ^{T};$ (4)求$A(A^{T}A)^{-1}A^{T}$的特征值. \textbf{证明:}只证明(3). 由于$A^{T}A$正定,则存在正定矩阵...

[原创]问题解答41

1. 高等代数问题解答41 Example 1. % 设$S=\begin{pmatrix}% 1&a_{1}&a_{1}^{2}&\cdots&a_{1}^{n-1}\\ 1&a_{2}&a_{2}^{2}&\cdots&a_{2}^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&a_{m}&a_{m}^{2}&\cdots&a_{m}^{n-1}\\ \end{pmatrix}$是$m\times n$阶范德蒙矩阵,试判断$S^{T}S$的正定性. 我们只需要解决下面的问题即...

[原创]问题解答38

1. 高等代数问题解答38 Example 1. % 设$A,B$为$n$阶实对称阵,$AB+BA$正定,证明:$r(A)=r(B)=n.$ \textbf{证明:}若$r(A)<n,$则存在$0\neq x\in R^{n},$使得$Ax=0.$由于$A$是对称的,则$x^{T}A=x^{T}A^{T}=(AX)^{T}=0.$于是 $$x^{T}(AB+BA)x=x^{T}ABx+x^{T}BAx=0,$$ 这与$AB+BA$正定矛盾. 类似可得$r(B)=n.$ 类似的几个问题. Example 2. (西南师大03)设$A,C$为$n$阶正定阵,若矩阵方程$AX+XA=C...
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