[原创]高等代数问题解答69

1. 高等代数问题解答69 Example 1. (湘潭大学2005)设$n$维欧氏空间$V$中的$n+1$个向量$\alpha_{0},\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$两两的距离都是$d>0,$即$|\alpha_{i}-\alpha_{j}|=d,i,j=0,1,\cdots,n,i\neq j.$令$\beta_{i}=\alpha_{i}-\alpha_{0},i=1,2,\cdots,n.$证明: (1)$(\beta_{i},\beta_{j})=\dfrac{d^{2}}{2},i,j=1,2,\cdots,n,i\neq j;$ (2)$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$是$V...

[原创]高等代数问题解答63

1. 高等代数问题解答63 Example 1. % (大连海事大学2010,重庆大学2007,湖南大学2010)设$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$与$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$是欧氏空间$V$的两组标准正交基,若$V$的一个正交变换$\sigma$使得$\sigma(\alpha_{1})=\beta_{1}.$证明: $$L(\sigma(\alpha_{2}),\cdots,\sigma(\alpha_{n}))=L(\beta_{2},\cdots,\beta_{n}).$$ \textbf{证明:} (法1)首先...

[原创]高等代数问题解答16-1

Example 1. % 设$A$是$n$阶正定矩阵,$X,Y$是$n$维实列向量且满足$X^{T}Y>0.$证明: $$M=A+\dfrac{XX^{T}}{X^{T}Y}-\dfrac{AYY^{T}A}{Y^{T}AY}$$ 也是正定矩阵. \textbf{证明:}易知$Y\neq0,$从而$Y^{T}AY>0.$$\forall Z\in R^{n},Z\neq0,$有 $$\begin{aligned}% &Z^{T}MZ\\ =&Z^{T}AZ+\dfrac{Z^{T}XX^{T}Z}{X^{T}Y}-\dfrac{Z^{T}AYY^{T}AZ}{Y^{T}AY}\\ =&\dfrac{X^{T}Y[(Z^{T}AZ)(Y^{T}AY...

[原创]问题解答58

1. 高等代数问题解答58 Example 1. % ( 重庆大学2011)设$\sigma,\tau$是$n$维欧式空间$V$的两个线性变换.若对$\forall\alpha\in V,$有$(\sigma(\alpha),\sigma(\alpha))=(\tau(\alpha),\tau(\alpha)),$则$\sigma V$与$\tau V$作为欧氏空间是同构的. \textbf{证明:}只需证明$dim\sigma V=dim \tau V,$而 $$\dim \sigma V=n-dim Ker\sigma,dim \tau V=n-dim Ker\tau,$$ 这样只需证明$dim Ker \sigm...

[原创]问题解答57

1. 高等代数问题解答57 Example 1. (武汉大学2013)设$W$为$n$维欧氏空间$V$的子空间,$\alpha\in V.$定义$\alpha$到$W$的距离 $$d(\alpha,W)=|\alpha-\alpha'|,$$ 其中$\alpha'$为$\alpha$在子空间$W$上的正交投影.证明:若$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$是$W$的一个基,则 $$d(\alpha,W)=\sqrt{\dfrac{|G(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m},\alpha)|}{|G(\alpha_{1},\alpha_{2},...

[原创]问题解答51

1. 高等代数问题解答51 Example 1. % (西南大学2012,浙江大学2003)设$V$是$n$维欧氏空间,$\sigma$是$V$的正交变换.$V_{1}=\{\alpha\in V|\sigma(\alpha)=\alpha\},V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha)\},$证明: (1)$V_{1},V_{2}$是$V$的子空间; (2)$V=V_{1}\oplus V_{2}.$ \textbf{证明:}(1)略. (2)(法1)只需证明$V_{1}=V_{2}^{\bot}.$ 先证明$V_{1}\subseteq V_{2}^{\bot}.$$\forall \alpha\in V_{1}...

[原创]问题解答43

1. 高等代数问题解答43 Example 1. % 设$V$是$n$维欧氏空间,$V_{1},V_{2}$是$V$的两个$m(0<m<n)$维子空间.证明:存在$V$的正交变换$\tau$使得 $\tau(V_{1})=V_{2}.$ \textbf{证明:}设$V_{1}$与$V_{2}$的标准正交基分别为 $$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$$ 与 $$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{m},$$ 将其分别扩充为$V$的标准正交基为 $$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alp...
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