[转载]一个多项式整除问题的四种证明方法

注:题目的4种证明方法来自南京大学数学系的丁南庆老师在2018年全国高等学校代数与几何类课程教学与课程建设研讨会上的报告. Example 1. 设$d,n$都是正整数,证明:$x^{d}-1|x^{n}-1$的充要条件是$d|n.$ \textbf{证:}充分性.由于$d|n,$可设$n=dq,$其中$q$是正整数.于是 $$x^n-1=(x^d)^q-1=(x^d-1)((x^d)^{q-1}+\cdots+x^a+1).$$ 从而$x^d-1|x^n-1.$ 必要性.(法1)由条件易知$d\leqslant n.$ 若$d=n,$则结论...

[原创]高等代数问题解答72

1. 高等代数问题解答72 Example 1. 设$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$是整系数多项式,$p$是素数,满足: (1)$f(x)$无有理根; (2)$p\nmid a_{n};$ (3)$p|a_{i},i=0,1,2,\cdots,n-2;$ (4)$p^2\nmid a_{0}.$ 证明:$f(x)$在有理数域$Q$上不可约. \textbf{证明:} 反证法.若$f(x)$在有理数域$Q$上可约,则$f(x)$可以分解为两个次数比$f(x)$的次数低的整系数多项式的乘积,设 $$f(x)=(b_{m}x^{m}+\cd...

[原创]带余除法定理的应用

1. 带余除法定理的应用 Example 1. (西南师大03)设多项式$f(x)$被$(x-1),(x-2),(x-3)$除后,余式分别为4,8,16.试求$f(x)$被$(x-1)(x-2)(x-3)$除后的余式. \textbf{解:}设$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)q(x)+ax^2+bx+c$,则 \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} 4=f(1)=a+b+c \\ 8=f(2)=4a+2b+c\\ 16=f(3)=9a+3b+c \end{aligned} \right. \end{equation*} 解得$a=2,b=-2,c=4$,故所求的余式为$2x^2-2x...

[原创]一类线性方程组问题的解法

Example 1. 证明:线性方程组 \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} x_1&=3a_{11}x_1+3a_{12}x_2+\cdots+3a_{1n}x_n\\ x_2&=3a_{21}x_1+3a_{22}x_2+\cdots+3a_{2n}x_n\\ \cdots&\cdots\\ x_n&=3a_{n1}x_1+3a_{n2}x_2+\cdots+3a_{nn}x_n\\ \end{aligned} \right. \end{equation*} 只有零解.其中$a_{ij}(i,j=1,2,\cdots,n)$为整数. \myproof 令$$f(x)=\begin{vmatrix} 3a_{11}-x &...

[原创]问题解答62

1. 高等代数问题解答62 Example 1. % 设$g(x)=x^{2}-4x+a,$如果存在唯一的多项式$f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d,$使得$g(x)|f(x),$且$f(x)|g^{2}(x).$试求$f(x)$的表达式. \textbf{解:} 由$g(x)|f(x),$以及$f(x),g(x)$分别为首项系数为1的3次与2次多项式,可设 $$f(x)=g(x)(x-\alpha),$$ 同样,由$f(x)|g^{2}(x),$以及$g^{2}(x)$是首项系数为1的4次多项式,可设 $$g^{2}(x)=f(x)(x-\beta),$$ 于是 $$g^{2}(...

[原创]问题解答59

1. 高等代数问题解答59 Example 1. (西南大学2006)设$\sum\limits_{i=0}^{n-1}x^{i}p_{i}(x^{in})=p(x^{n}),$且$(x-1)|p(x),$其中$p_{i}(x)(0\leq i\leq n-1),p(x)$均为实系数多项式,证明: (1)$p_{i}(x)=0(i=1,\cdots,n-1);$ (2)$p(x)=0;$ (3)$p_{0}(1)=0.$ \textbf{证明:}由条件知$p(1)=0,$即1是$p(x)=0$的根.设$x^{n}-1=0$的$n$个不同的复根为$$\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\vareps...

[原创]问题解答54

1. 高等代数问题解答54 Example 1. % (华东师范大学2013)求次数最低的多项式$f(x),$使得$f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=2,f(-2)=-8.$ \textbf{解:}(法1)由条件可设$f(x)=(x-1)g(x)+1,$其中$g(x)$为待定的多项式.于是 $$\left\{ \begin{aligned}% -1&=f(-1)=-2g(-1)+1,\\ 2&=f(2)=g(2)+1,\\ -8&=f(-2)=-3g(-2)+1. \end{aligned} \right.$$ 为使$f(x)$的次数最低,易知$g(x)$不能是零次多项式,若...

[原创]问题解答53

1. 高等代数问题解答53 Example 1. % (华东师范大学2011)求出所有满足条件$(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)$的非零实系数多项式. \textbf{解:}令$x=1,0,-1$可得$f(1)=f(0)=f(-1)=0.$从而可设 $$f(x)=x(x+1)(x-1)g(x),g(x)\in R[x],$$ 于是 $$f(x+1)=(x+1)(x+2)xg(x+1),$$ 将上面两式代入条件中的等式,有 $$x(x-1)(x+1)(x+2)g(x+1)=x(x-1)(x+1)(x+2)g(x),$$ 故 $$g(x)=g(x+1),$$ 由此有 $$g(0)=g(1)=g(2)=\c...

[原创]问题解答44

1. 高等代数问题解答44 Example 1. (浙江大学05)设整系数多项式$f(x)$的次数$n=2m$或$n=2m+1.$($m$为正整数)证明如果有$k(\geq 2m+1)$个不同的整数$a_1,...,a_k$使得$f(a_i)$取值为1或-1,则$f(x)$在有理数域上不可约. \textbf{证明:} 设 $$f(x)=f_1(x)f_2(x)$$ 其中$0<degf_1,degf_2<n,$且$degf_1,degf_2$中至少有一个不大于$m,$不妨设$degf_1\leq m.$ 由于 $$f(a_i)=1\mbox{或}-1,i=1,\cdo...
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