[原创]高等代数问题解答82

1. 高等代数问题解答82 Example 1. 设$A,B$为$n$阶正定矩阵,令$M=\{X\in R^n|X^TAX\leq1\},N=\{X\in R^n|X^TBX\leq1\}$,证明$M\subseteq N$的充要条件是$B-A$半负定. \textbf{证明:}充分性.任取$X\in M,$则$X^TAX\leq1,$于是$X\neq0,$由$B-A$半负定有 $$X^T(B-A)X\leq0,$$ 于是$X^TBX\leq X^TAX\leq1,$从而$X\in N.$ 必要性.由于$A,B$都是正定矩阵,故存在可逆矩阵$P$使得 $$A=P^TEP,B=P^Tdiag(\l...

[原创]高等代数问题解答81

1. 高等代数问题解答81 Example 1. 设$A,B$为$n$阶实对称矩阵,若$AB+BA$为正定矩阵,求证$r(A)=r(B)=n$. \textbf{证明:}(法1)只证明$r(A)=n$.反证法,若$r(A)<n$,则线性方程组$Ax=0$有非零解,设为$x_0,$即$Ax_0=0,x_0\neq0,$于是$x_0^TA=0,$由$AB+BA$为正定矩阵有 $$0<x_0^T(AB+BA)x_0=x_0^TABx_0+x_)^TBAx_0=0,$$ 矛盾.所以结论成立. (法2)设$\lambda$为$A$的任一特征值,$\alpha$为对应特...

[原创]高等代数问题解答80

1. 高等代数问题解答80 Example 1. 设$A$为$n$阶实对称矩阵,$C$为$n$阶实矩阵,求证$B=\begin{pmatrix} A&C^{T}\\ C&0 \end{pmatrix}$为半正定矩阵的充要条件是$A$半正定且$C=0$. \textbf{证明:}充分性.显然. 必要性.首先, $A$的各阶顺序主子式是$B$的前$n$阶顺序主子式,由$B$半正定可知$B$的前$n$阶顺序主子式大于等于0,从而$A$半正定.其次半正定矩阵的一个对角元为0,则该对角元所在的...

[原创]高等代数问题解答79

1. 高等代数问题解答79 Example 1. 设$A$为$n$阶实对称矩阵,$B=(b_1,b_2,\cdots,b_m)$,$b_j$都是$n$维列向量,$m<n,b_i^Tb_j=\begin{cases} 1,&i=j\\ 0,&i\neq j \end{cases}$.证明存在$C=(c_{ij})_{n\times m}$,使得$\sum\limits_{k=1}^{n}c_{kr}c_{ks}=\begin{cases} 1,&r=s\\ 0,&r\neq s \end{cases}$,且$\sum\limits_{i=1}^n\lambda_ic_{ij}^2(j=1,2,\cdots,m)$为$B^TAB$的...
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