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[原创]带余除法定理的应用

1. 带余除法定理的应用

Example 1. (西南师大03)设多项式$f(x)$被$(x-1),(x-2),(x-3)$除后,余式分别为4,8,16.试求$f(x)$被$(x-1)(x-2)(x-3)$除后的余式.

\textbf{解:}设$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)q(x)+ax^2+bx+c$,则
\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}
4=f(1)=a+b+c \\
8=f(2)=4a+2b+c\\
16=f(3)=9a+3b+c
\end{aligned} \right.
\end{equation*}

解得$a=2,b=-2,c=4$,故所求的余式为$2x^2-2x+4$.

一般情况:

Example 2. 设多项式$f(x)$ 被$(x-a),(x-b),(x-c)$除后,余式分别为$r,s,t$.试求$f(x)$被 $(x-a)(x-b)(x-c)$除后的余式.

类似的例子.
Example 3. (南昌大学2014)已知$x-1$除多项式$f(x)$的余数为8,$x+1$除多项式$f(x)$的余数为6,求$x^{2}-1$除$f(x)$的余式.

Example 4. 设$a\neq b,$证明:用$g(x)=(x-a)(x-b)$除$f(x)$所得的余式为
$$r(x)=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{af(b)-bf(a)}{a-b}.$$

Example 5. (西安电子科技大学2007)设多项式$f(x)$除以$x^{2}-1,x^{2}+3$的余式分别为$2x+7,2x-1.$求多项式$f(x)$除以$(x^{2}-1)(x^{2}+3)$的余式.

Example 6. (西安电子科技大学2006)设多项式$f(x)$除以$x^{2}+1,x^{2}+2$的余式分别为$4x+4,4x+8.$求多项式$f(x)$除以$(x^{2}+1)(x^{2}+2)$的余式.

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