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[原创]高等代数问题解答68

1. 高等代数问题解答68

Example 1. 设$n$阶矩阵
$$A=\begin{pmatrix}%
a_{1}&1&0&\cdots&0\\
a_{2}&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
a_{n-1}&0&0&\cdots&1\\
a_{n}&0&0&\cdots&0
\end{pmatrix}.$$

(1)证明至少可以找到一个向量$X\in R^{n},$使得向量组$X,AX,A^{2}X,\cdots,A^{n-1}X$线性无关;

(2)如果$n$阶矩阵$A$与对角线上元素为$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$的对角矩阵相似,证明$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$两两不同.

\textbf{证明:} (1)用$e_{i}$表示第$i$个分量为1,其余分量为0的$n$维列向量,则
$$A=(\beta,e_{1},e_{2},\cdots,e_{n-1}),$$
其中$\beta=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n-1},a_{n})^{T}.$令
$$X=(0,0,\cdots,0,1)^{T},$$
则$X\in R^{n},$且
$$
\begin{aligned}
&X=e_{n},\\
&AX=(\beta,e_{1},e_{2},\cdots,e_{n-1})e_{n}=e_{n-1},\\
&A^{2}X=AAX=Ae_{n-1}=e_{n-2},\\
&\cdots\cdots,\\
&A^{n-1}X=e_{1}.
\end{aligned}
$$
显然$X,AX,A^{2}X,\cdots,A^{n-1}X$线性无关,所以结论成立.

(2)由于$A$能够相似对角化,所以$A$的任一特征值$\lambda_{i}$的代数重数等于几何重数.这样只需证明$A$的任一特征值$\lambda_{i}$的几何重数为1即可,即只需证明$r(A-\lambda_{i}E)=n-1.$由于
$$A-\lambda_{i}E=\begin{pmatrix}%
a_{1}-\lambda_{i}&1&0&\cdots&0\\
a_{2}&\lambda_{i}&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
a_{n-1}&0&0&\cdots&1\\
a_{n}&0&0&\cdots&\lambda_{i}
\end{pmatrix}$$
中有一个$n-1$阶子式
$$\begin{vmatrix}%
1&0&\cdots&0&0\\
\lambda_{i}&1&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&\lambda_{i}&1
\end{vmatrix}=1,$$
而$|A-\lambda_{i}E|=0,$所以$r(A-\lambda_{i}E)=n-1.$

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