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[原创]问题解答58

1. 高等代数问题解答58

Example 1. %
( 重庆大学2011)设$\sigma,\tau$是$n$维欧式空间$V$的两个线性变换.若对$\forall\alpha\in V,$有$(\sigma(\alpha),\sigma(\alpha))=(\tau(\alpha),\tau(\alpha)),$则$\sigma V$与$\tau V$作为欧氏空间是同构的.

\textbf{证明:}只需证明$dim\sigma V=dim \tau V,$而
$$\dim \sigma V=n-dim Ker\sigma,dim \tau V=n-dim Ker\tau,$$
这样只需证明$dim Ker \sigma=dim Ker\tau$即可.下面证明$Ker\sigma=Ker\tau.$

$\forall\alpha\in Ker\sigma,$则$\sigma(\alpha)=0,$于是由条件
$$(\tau(\alpha),\tau(\alpha))=(\sigma(\alpha),\sigma(\alpha))=0,$$
从而$\tau(\alpha)=0,$即$\alpha\in Ker\tau.$于是$Ker\sigma\subseteq Ker\tau.$

$\forall\beta Ker\tau,$则$\tau(\beta)=0,$于是由条件
$$(\sigma(\beta),\sigma(\beta))=(\tau(\beta),\tau(\beta))=0,$$
故$\sigma(\beta)=0,$从而$\beta\in Ker\sigma,$这样就证明了$Ker\tau\subseteq Ker\sigma.$

综上有$Ker\sigma=Ker\tau.$从而结论成立.

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