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[原创]专题:公共特征值与特征向量问题

专题:公共特征值与特征向量 高等代数资源网http://www.52gd.org

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2. 公共特征值与特征向量问题

Example 1. (北京科技大04)(1)若矩阵$A$与$B$相似,证明$A$与$B$有相同的特征值.

(2)举例说明上述命题的逆命题不成立.

(3)若$A$与$B$均为对称矩阵,则(1)的逆命题成立.


Example 2. 设$A,B$为$n$阶方阵,且存在可逆矩阵$P$使得$B=P^{-1}AP.$证明:

(1)$A,B$有相同的特征值;

(2)$A,B$相同特征值的特征子空间的维数相等.

Example 3. %
(1)相似矩阵有相同的特征值,并且重数也相同;

(2)$n$阶矩阵$A$与$A^{T}$有相同的特征值,并且重数相同.

Example 4. (武汉大学04,北京科技大99,中山96)设$V$为复数域上的$n$维线性空间,$f,g$为$V$的线性变换且$fg=gf.$证明

(1)若$\lambda$为$f$的特征值,则$V_{\lambda}$是$g$的不变子空间.

(2)$f,g$至少有一个公共特征向量.

Example 5. (武汉大学03)设$A,B$为$n$阶非零阵,且$A^2=A,B^2=B,AB=BA=0.$证明

(1)0,1必为$A,B$的特征值.

(2)若$x$是$A$的属于特征值1的特征向量,则$x$也是$B$的属于特征值0的特征向量.

Example 6. (辽宁大学05)设$A,B$为$n$阶方阵,证明$AB$与$BA$有相同的特征多项式.

\textbf{证明:}  考虑
$$
\left| {\begin{array}{*{20}c}
{\lambda E} & B  \\
A & E  \\
\end{array}} \right|
=\left| {\begin{array}{*{20}c}
{\lambda E-AB} & 0  \\
A & E  \\
\end{array}} \right|
=\left| {\begin{array}{*{20}c}
{\lambda E-BA} & B  \\
0 & E  \\
\end{array}} \right|
$$

Example 7. (中国地质04)设$A,B$为$n$阶方阵,证明$AB$与$BA$有相同的特征值.

\textbf{证明:} 先证明$AB$与$BA$有相同的非零特征值.设
$$AB\alpha=\lambda\alpha,\lambda\neq0,\alpha\neq0$$

$$(BA)(B\alpha)=\lambda(B\alpha)$$
若$B\alpha=0,$则
$$\lambda\alpha=0$$
矛盾.从而结论成立.

其次,

$$|AB-0E|=|A||B|=|BA-0E|.$$

Example 8. 设$A,B$分别为$m\times n,n\times
m$阵($m$不一定等于$n$).证明$AB$的非零特征值必为$BA$的特征值.

Example 9. (上海交大03)设$A,B$为$n$阶实方阵,$\lambda$为$BA$的非零特征值,以$V_{\lambda}^{BA}$表示$BA$的关于$\lambda$的特征子空间.证明

(1)$\lambda$也是$AB$的特征值.

(2)$\dim V_{\lambda}^{BA}=\dim V_{\lambda}^{AB}.$

\textbf{证明:} (1)略.

(2)由于
$$V_{\lambda}^{BA}=\{x\in R^{n}|BAx=\lambda x\}=\{x\in R^{n}|(\lambda E-BA)x=0\},$$
$$V_{\lambda}^{AB}=\{x\in R^{n}|ABx=\lambda x\}=\{x\in R^{n}|(\lambda E-AB)x=0\},$$
故只需证明:
$$r(\lambda E-AB)=r(\lambda E-BA).$$
这是容易的。

Example 10. (华中科技大06,东南大学04,南京师范10)设$A,B$分别为$m,n$阶方阵,证明$A,B$无公共特征值的充要条件为满足$AX=XB$的矩阵$X$只能是零矩阵.

\textbf{证明:} 必要性.由$A,B$无公共特征值可得$A,B$的特征多项式$f(\lambda),g(\lambda)$互素.即存在$u(\lambda),v(\lambda)$使得
$$f(\lambda)u(\lambda)+g(\lambda)v(\lambda)=1$$
故$$g(A)v(A)=E$$
从而$g(A)$可逆.

由$AX=XB$可得$$g(A)X=Xg(B)=0$$
故$X=0.$
充分性.设$\lambda$为矩阵$A,B$的公共特征值.由于
$$|B-\lambda E|=|(B-\lambda E)^{T}|=|B^{T}-\lambda E|$$
从而$A,B^{T}$也有公共特征值$\lambda,$设
$$A\alpha=\lambda\alpha,\alpha\neq0$$
$$B^{T}\beta=\lambda\beta,\beta\neq0$$

令$X=\alpha\beta^{T},$则
$$
\begin{aligned}
AX=A\alpha\beta^{T}&=\lambda\alpha\beta^{T}\\
&=\alpha(\lambda\beta^{T})\\
&=\alpha\beta^{T}B\\
&=XB
\end{aligned}
$$
矛盾.

Example 11. (中国科技大学2013)设$A,B$为$n$阶复方阵,定义线性变换:
$$\sigma:X\rightarrow AX-XB,X\in C^{n\times n}.$$
证明$\sigma$可逆的充要条件是$A,B$无公共特征值.

Example 12. 设$A,B$分别为数域$F$上的$n$阶与$m$阶矩阵.证明:如果$A,B$有$r$个两两不等的公共特征值,$0<r\leq \min\{m,n\},$则矩阵方程$AX-XB=0$有秩为$r$的矩阵解.

\textbf{证明:}设$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{r}$是$A,B$的两两不等的公共特征值,则它们也是$B^{T}$的特征值,从而在$F^{n}$中存在向量$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$使得
$$A\alpha_{i}=\lambda_{i}\alpha_{i},i=1,\cdots,r,$$
在$F^{m}$中存在向量$\beta_{1},\cdots,\beta_{r}$使得
$$B^{T}\beta_{i}=\lambda_{i}\beta_{i},i=1,\cdots,r.$$
由$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{r}$两两不等,可知$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$线性无关,同样$\beta_{1},\cdots,\beta_{r}$线性无关.令矩阵
$$C=(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r})
\begin{pmatrix}%
\beta_{1}^{T}\\
\vdots\\
\beta_{r}^{T}
\end{pmatrix},$$
则$C$是$n\times m$矩阵,且$$r(C)\leq r(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r})=r.$$
又由Sylvester不等式有
$$r(C)\geq r(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r})+r\begin{pmatrix}
\beta_{1}^{T}\\
\vdots\\
\beta_{r}^{T}
\end{pmatrix}-r=r.$$
从而$r(C)=r,$且
$$\begin{aligned}%
AC-CB&=A(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r})
\begin{pmatrix}%
\beta_{1}^{T}\\
\vdots\\
\beta_{r}^{T}
\end{pmatrix}-(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r})
\begin{pmatrix}%
\beta_{1}^{T}\\
\vdots\\
\beta_{r}^{T}
\end{pmatrix}B\\
&=(\lambda_{1}\alpha_{1},\cdots,\lambda_{r}\alpha_{r})\begin{pmatrix}
\beta_{1}^{T}\\
\vdots\\
\beta_{r}^{T}
\end{pmatrix}-(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r})\begin{pmatrix}
\lambda_{1}\beta_{1}^{T}\\
\vdots\\
\lambda_{r}\beta_{r}^{T}
\end{pmatrix}\\
&=(\lambda_{1}\alpha_{1}\beta_{1}^{T}+\cdots+\lambda_{r}\alpha_{r}\beta_{r}^{T})-(\lambda_{1}\alpha_{1}\beta_{1}^{T}+\cdots+\lambda_{r}\alpha_{r}\beta_{r}^{T})\\
&=0.
\end{aligned}$$
从而结论成立.

Example 13. 设$A,B,C$为$n$阶方阵,$AC=CB,r(C)=r.$则$A,B$的特征多项式有$r$次公因子,即$A,B$至少有$r$个公共的特征值(重根按重数计算).进而,若$A,B$无相同特征值,则$C=0.$

\textbf{证明:}  设
$$PCQ=\begin{pmatrix}
E_{r}&0\\
0&0\\
\end{pmatrix}
$$
由$AC=CB$知$$PACQ=PCBQ$$

\begin{equation}\label{xxbh1}
PAP^{-1}PCQ=PCQQ^{-1}BQ
\end{equation}

$$PAP^{-1}=\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{12}\\
A_{21}&A_{22}\\
\end{pmatrix},Q^{-1}BQ=\begin{pmatrix}
B_{11}&B_{12}\\
B_{21}&B_{22}\\
\end{pmatrix}
$$
则由(xxbh1)可得
$$A_{11}=B_{11},PAP^{-1}=\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{12}\\
0&A_{22}\\
\end{pmatrix},Q^{-1}BQ=\begin{pmatrix}
B_{11}&0\\
B_{21}&B_{22}\\
\end{pmatrix}$$


$$|\lambda E-A|=|\lambda E-A_{11}||\lambda E-A_{22}|$$
$$|\lambda E-B|=|\lambda E-A_{11}||\lambda E-B_{22}|$$
故结论成立.

Example 14. (苏州大学05)设$A,B,C$分别为$m\times m,n\times n,m\times n(m>n).$阶矩阵,且$AC=CB,r(C)=r.$证明$A,B$至少有$r$个相同的特征值.
Example 4. (武汉大学04,北京科技大99,中山96)设$V$为复数域上的$n$维线性空间,$f,g$为$V$的线性变换且$fg=gf.$证明

(1)若$\lambda$为$f$的特征值,则$V_{\lambda}$是$g$的不变子空间.

(2)$f,g$至少有一个公共特征向量.


Example 16. %
设$V$为复数域上的$n$维线性空间,$f,g$为$V$的线性变换且$fg=gf.$证明:若$f$有$s$个不同的特征值,则$f,g$至少有$s$个公共的特征向量,并且它们线性无关.

Example 17. 设$A,B$是$n$阶复矩阵,且$AB=BA.$证明:存在可逆复矩阵$P$使得$P^{-1}AP,P^{-1}BP$都是上三角矩阵.

Example 18. 设$V$是复数域上的$n$维线性空间,$f_{1},f_{2},\cdots,f_{s}$是$V$的线性变换.证明:若$f_{1},f_{2},\cdots,f_{s}$两两可换,则$f_{1},f_{2},\cdots,f_{s}$至少有一个公共特征向量.

Example 19. %
设$f,g$是复$n$维线性空间$V$上的线性变换,若$fg-gf=f.$证明:

(1)$f$的特征值全为0;

(2)$f$与$g$必有公共的特征向量.

\textbf{证明:}(1)设$f,g$在$V$的一组基下的表示矩阵分别为$A,B,$则由线性变换和矩阵的关系知,$AB-BA=A,$下面证明$A$的特征值全为0即可.

事实上,设$A$的特征值为$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n},$则
$$\lambda_{1}^{m}+\cdots+\lambda_{n}^{m}=tr(A^{m})=tr(A^{m-1}(AB-BA))=tr(A^{m})-tr(A^{m-1}BA)=0,$$
对于任意的自然数$m$成立,由$newton$公式可得$\lambda_{1}=\cdots=\lambda_{n}=0.$

(2)设$V_{0}$是$f$的特征值子空间,由于对任意的$x\in V_{0},$有$(fg-gf)x=fx=0,$从而$fgx=gfx=0,$于是$gx$也是$f$的特征值向量(或为零向量),总之,$gx\in V_{0},$因此$V_{0}$也是$g$的不变子空间,将线性变换$g$限制在$V_{0}$上,由于是复空间,因此必有特征值和特征向量,这个特征向量就是$f,g$的公共特征向量.

Example 5. (武汉大学03)设$A,B$为$n$阶非零阵,且$A^2=A,B^2=B,AB=BA=0.$证明

(1)0,1必为$A,B$的特征值.

(2)若$x$是$A$的属于特征值1的特征向量,则$x$也是$B$的属于特征值0的特征向量.

Example 21. 设$\sigma,\tau$为$n$维线性空间$V$的线性变换,且
$$\dim Im\sigma+\dim Im\tau <n$$
则$\sigma,\tau$有公共的特征值与特征向量.

Example 22. 设$A,B$为$n$阶方阵,若
$$r(A)+r(B)<n$$
则$A,B$有公共的特征值与特征向量.

\textbf{证明:}  由条件知
$$
r\begin{pmatrix}
A\\
B\\
\end{pmatrix}\leq r(A)+r(B)<n
$$
故方程组
$$\begin{pmatrix}
A\\
B\\
\end{pmatrix}X=0$$
有非零解.设为$X_{0},$即
$$AX_{0}=0,BX_{0}=0$$
从而$A,B$有公共特征值0与特征向量$X_{0}.$

Example 23. (聊城大学2012)设A,B为n阶矩阵,且$A+B=AB,$求证

(1)$(A-E)^{-1}=B-E.$

(2)$AB=BA.$

(3)$r(A)=r(B).$

(4)$A,B$的特征值向量是公共的.

(5)$A$相似于对角矩阵,当且仅当$B$相似于对角矩阵.

\textbf{证明:}(1)由$A+B=AB$可得
$$E=AB-A-A+E=A(B-E)-(B-E)=(A-E)(B-E)$$
故$A-E$可逆,且$(A-E)^{-1}=B-E.$

(2)由(1)有
$$(B-E)(A-E)=E,BA-B-A+E=E,BA=B+A.$$
从而由条件可得.
(3) 由$A+B=AB$可得
$$A(E-B)=-B,A=(A-E)B$$
从而$r(B)\leq r(A),r(A)\leq r(B),$即$r(A)=r(B).$

 

(4)设$\alpha$为B的特征向量,对应的特征值为$\lambda,$即$B\alpha=\lambda\alpha.$则
$$A\alpha+B\alpha-AB\alpha=0$$
$$A\alpha+\lambda\alpha-\lambda A\alpha=0$$
$$(1-\lambda)A\alpha=-\lambda\alpha$$

若$\lambda\neq1,$则$A\alpha=-\frac{\lambda}{1-\lambda}\alpha,$即$\alpha$为A的特征向量.


$\lambda=1,$则$A\alpha+\alpha-A\alpha=0,$得到$\alpha=0.$矛盾.又由(3)有$BA=A+B$,同理可证$A$的特征向量也是$B$的,故结论成立.
(5)必要性.由$A$相似于对角矩阵,故存在可逆矩阵$T$,使得
$$T^{-1}AT=\begin{pmatrix}
\lambda_1 &  &  \\
& \ddots &  \\
&  & \lambda_n \\
\end{pmatrix}$$
即$$AT=T\begin{pmatrix}
\lambda_1 &  &  \\
& \ddots &  \\
&  & \lambda_n \\
\end{pmatrix}$$
令$T=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$,则$A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i,i=1,2,\cdots,n.$
即$\alpha_i(i=1,2,\cdots,n)$为$A$的特征向量.
由(4)知其也是$B$的特征向量,设
$$B\alpha_i=\lambda_i^{'}\alpha_i,i=1,2,\cdots,n.$$
则$$T^{-1}BT=\begin{pmatrix}
\lambda_1^{'} &  &  \\
& \ddots &  \\
&  & \lambda_n^{'} \\
\end{pmatrix}$$
充分性同上.

Example 24. 设$A,B$为$n$阶矩阵,$AB=aA+bB(ab\neq0),$证明

(1)$A-bE,B-aE$可逆;

(2)$A$可逆充要条件为$B$可逆;

(3)$AB=BA$

(4)$A,B$的特征向量是公共的.


Example 25. %
设$A,B$是两个$n$阶方阵,$r(AB-BA)\leq1.$证明:$A,B$有公共的特征向量.

\end{document}

百度云:http://pan.baidu.com/s/1kmakb

 

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2 条留言  访客:1 条  博主:1 条

  1. 天外飞仙

    很好,很有针对性

  2. admin

    可以下载了.

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