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[原创]专题:置换矩阵的性质及其应用

专题:置换矩阵的性质及其应用 高等代数资源网 07/30/2013

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2. 置换矩阵的定义

Definition 1. %
交换$n(n\ge2)$阶单位矩阵$E$的任意几行(或列)而得到的矩阵,称为$n$阶置换矩阵.

显然,置换矩阵是元素只为0或1的矩阵,且每一行或每一列有且只有元素一个为1,其余元素都为0.

用$e_{i}$表示第$i$个分量为1,其余分量为0的$n$维列向量,则任一置换矩阵可表示为
$$(e_{j_{1}},e_{j_{2}},\cdots,e_{j_{n}}),$$
其中$j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}$为$1,2,\cdots,n$的一个排列.

用$P(i,j)$表示交换$n$阶单位矩阵的第$i,j$两行(列)得到的初等矩阵,称为第一类初等矩阵,则$P(i,j)$是置换矩阵,且易知任一置换矩阵是一系列第一类初等矩阵之积.

3. 置换矩阵的性质 由$P(i,j)^{T}=P(i,j),P(i,j)^{T}P(i,j)=E,$以及任一置换矩阵是一系列第一类初等矩阵之积,可得置换矩阵的下列性质:

Example 1. %
(1)置换矩阵之积还是置换矩阵;

(2)若$A$是$n$阶置换矩阵,则$A^{T}$也是$n$阶置换矩阵,且$AA^{T}=A^{T}A=E_{n}.$

(3)置换矩阵是正交阵;

(4)若$A$是$n$阶置换矩阵,则$|A|=1$或$-1;$

(5)若$A$是$n$阶置换矩阵,则$A^{-1}$也是$n$阶置换矩阵,且$A^{-1}=A^{T}.$

Example 2. %
(1)$n$阶置换矩阵共有$n!$个;

(2)若$A$是$n$阶置换矩阵,则存在自然数$m$使得$A^{m}=E.$即$A$是幂幺矩阵;

(3)置换矩阵相似于对角阵;

(5)置换矩阵的特征值为单位根.

\textbf{证明:}(1)由于任一置换矩阵可表示为$(e_{j_{1}},e_{j_{2}},\cdots,e_{j_{n}}),$其中$j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}$为$1,2,\cdots,n$的一个排列,而所有$n$元排列的总数是$n!$.

(2)由于置换矩阵的乘积还是置换矩阵,故矩阵序列
$$A,A^{2},\cdots,A^{s},\cdots$$
中必有两个相等,不妨设
$$A^k=A^{l}(k>l),$$
由$A$可逆,有
$$A^{k-l}=E.$$

(3)由(2)知,$\lambda^{m}-1$是$A$的零化多项式,因为$\lambda^{m}-1$无重根,故$A$的最小多项式无重根,因此$A$与对角阵相似.

(4)由(2)可得.

Example 3. %
设$A$是$n$阶置换矩阵.证明:若对任意的$n$阶置换矩阵$B,$均有$AB=BA,$则$A=E.$
Example 4. %
(西南大学2010,北京工业大学2010)每一行和每一列只有一个元素为1其余元素全为0的$n$阶行列式($n\geq 2$)共有(\hspace{2cm})个,所有这些行列式的和为(\hspace{2cm}).

\textbf{解:}用$e_{i}$表示第$i$个单位向量(即第$i$个分量为1,其余分量为0的$n$维向量),则每一行和每一列只有一个元素为1其余元素全为0的$n$阶矩阵称为置换矩阵.设$A$是第$i$行的第$k_i$个元素为1的置换矩阵,即$A$的第$i$行为$e_{k_i},$则
$$A=\begin{pmatrix}
e_{k_1}\\
e_{k_2}\\
\vdots\\
e_{k_n}
\end{pmatrix}$$
其中$k_1,k_2,\cdots,k_n$为$1,2,\cdots,n$的一个排列.而所有的$n$元排列的个数为$n!.$

置换矩阵是由单位矩阵进行一系列的行交换而得到的,故置换矩阵的行列式只能为1或$-1,$若进行了偶数次行交换,则值为1,否则为$-1.$而$n$元排列中奇偶排列各占一半,故所有置换矩阵行列式的和为0.

Example 5. %
(北京工业大学2009)设$n$阶方阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$的每一行只有一个元素是1,其余元素都是0,而且每一列的元素之和为1.证明:存在自然数$m>0,$使得$A^{m}=E.$

Example 6. (北大2012)$n$阶方阵$A$的每一行每一列恰有一个元素为1或$-1,$其余元素为0.证明:必存在正整数$k,$使得$A^{k}=E.$

Example 7. 设$A$为$n$阶方阵,$A$的各行与各列恰有一个非零元素且为1或$-1$,证明$A$的特征根都是单位根。

\textbf{证明:} 显然$A$是可逆的,且$A^i$中每行(列)只有一个非零元1或$-1$,而这样的矩阵只有有限个. 于是存在$k,l(k>l)$使得$A^k=A^l$,即$A^l(A^{k-l}-E)=0$,从而$A^{k-l}=E.$即证.

Example 8. %
(西南大学2008)元素为整数的三阶正交矩阵共有(\ \ \ \ )个.
Example 9. %
(广东工业大学2011)设$O(n,Z)$为整系数正交矩阵所成之集合,$O^{*}(n,Z)(O^{-}(n,Z))$是其行列式为为1($-1$)的正交矩阵所成之子集合.

(1)确定$O(n,Z)$中元素个数;(2)证明$O^{*}(n,Z)$与$O^{-}(n,Z)$中元素个数相等.

\textbf{证明:}(1)由于正交矩阵每行(列)的元素平方和为1,故$O(n,Z)$中的矩阵每个元素只能为1或$-1$或0,而且每行每列只有一个1或$-1.$
$\forall A\in O(n,Z),$将$A$按列分块,则$A$的第$i(i=1,2,\cdots,n)$列为$e_{k_{i}}$或$-e_{k_{i}}.$

先考虑$$A=(e_{k_{1}},e_{k_{2}},\cdots,e_{k_{n}})$$
的情况,此时由$k_{1}k_{2}\cdots k_{n}$是$12\cdots n$的一个排列,故共有$n!$个.

再考虑$$A=(e_{k_{1}},\cdots,-e_{k_{i}},\cdots,e_{k_{n}})$$
的情况,即$A$中只有一列的非零元素为-1,其余列的非零元素为1,此时易知有$C_{n}^{1}n!$个.

类似可知$$A=(e_{k_{1}},\cdots,-e_{k_{i}},\cdots,-e_{k_{j}},\cdots,e_{k_{n}})$$
的情况,即$A$中只有两列的非零元素为-1,其余列的非零元素为1,此时易知有$C_{n}^{2}n!$个.

如此,可知$O(n,Z)$中元素个数为
$$n!+C_{n}^{1}n!+C_{n}^{2}n!+\cdots+C_{n}^{n}n!=2^{n}n!.$$

(2)先考虑$$A=(e_{k_{1}},e_{k_{2}},\cdots,e_{k_{n}})$$
的情况,此时由于$A$是由单位矩阵交换行(列)得到的,故此时$n!$个正交矩阵中行列式等于1与$-1$的各占一半.

同样,可知$$A=(e_{k_{1}},\cdots,-e_{k_{i}},\cdots,-e_{k_{j}},\cdots,e_{k_{n}})$$时,$C_{n}^{1}n!$个正交矩阵中行列式等于1与$-1$的各占一半.

其余情况,也是如此.故结论成立.

 

\end{document}

百度云:http://pan.baidu.com/s/1bnnEbzp

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5 条留言  访客:3 条  博主:2 条

  1. 求专题PDF:置换矩阵的性质及其应用

    楼主,有这个文档的PDF文档吗?

    • admin

      ok.已经提供了.

  2. 张俭

    老师,连接失效了啊,请问能再发一下链接吗?

    • admin

      已经更新了

  3. Marybobi

    真的很喜欢

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