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[原创]专题:关于矩阵每行元素之和为常数的一些问题.

专题:关于矩阵的每行元素之和为常数的有关问题. 高等代数资源网 07/30/2013 1. 声明 您现在看到的这份文件来自http://www.52gd.org.本站原创的内容,采用创作共用组织(Creative Commons)的“公共领域”(Public Domain)许可。即放弃一切权利,全归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。

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2. 问题与参考解答

Example 1. 若非奇异$n$阶矩阵$A$的每行元素之和均为$a$,试证

(1)$a\neq0.$

(2)对任意的自然数m,$A^m$的每行元素之和为$a^m;$

(3)$A^{-1}$的每行元素之和为$a^{-1}(a\neq0);$

(4)$a$为A的一个特征值,$\xi=(1,1,\cdots,1)^T$为对应的特征向量;

(5)$a^m$为$A^m$的一个特征值;

(6)求$2A^{-1}-3A$的各行元素之和.

\textbf{证明:}主要考虑
$$A(1,1,\cdots,1)^T=a(1,1,\cdots,1)^T$$

Example 2. %
(上海大学04)设$n$ 阶可逆矩阵$A$ 中每一行之和为$a(a\neq0).$证明

(1)$\sum_{j=1}^n A_{ji}=a^{-1}|A|(i=1,2,\cdots,n).$

(2)如果$a_{ij}(i,j=1,2,\cdots,n)$都是整数,则$a$整除$|A|.$

Example 3. %
(江西师范大学2011,西安交通大学05)设$n$阶方阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$的每个元素非负且每行元素之和为1.证明:$A$必有特征值1,且$A$的每个特征值的绝对值不超过1.

\textbf{证明:}只证$A$的特征值的绝对值不超过1.

设$\lambda$是$A$的任一特征值,$\alpha=(k_{1},\cdots,k_{n})^{T}$是对应的特征向量,$|k_{i}|=max\{|k_{1}|,\cdots,|k_{n}|\},$由$A\alpha=\lambda\alpha$有
$$a_{i1}k_{1}+\cdots+a_{in}k_{i}=\lambda k_{i},$$
于是
$$|\lambda||k_{i}|=|\lambda k_{i}|\leq a_{i1}|k_{1}|+\cdots+a_{in}|k_{n}|,$$

$$|\lambda|\leq a_{i1}\dfrac{|k_{1}|}{|k_{i}|}+\cdots+a_{in}\dfrac{|k_{n}|}{|k_{i}|}\leq a_{i1}+\cdots+a_{in}=1.$$

类似可以证明

Example 4. %
矩阵$A$每行元素之和为$b$,且每个元素都为正,那么它的特征值的绝对值都小于等于$b.$

百度云:http://pan.baidu.com/s/1iml9a

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4 条留言  访客:2 条  博主:2 条

  1. 求助专题PDF文档

    版主这个专题有PDF文档吗?

    • admin

      有的,看页面最底部,去百度云网盘下载吧.

  2. 橙子

    练习题也请给个答案好不好

    • admin

      自己做做试试吧。

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