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[原创]高等代数问题解答84

1. 高等代数问题解答84

Example 1. (西北大学,2003)设$f_{1}(x),\cdots,f_{n}(x)(n\geqslant 2)$为多项式,且满足
$$x^{n-1}+\cdots+x+1|f_{1}(x^{n})+x f_{2}(x^{n})+\cdots+x^{n-1}f_{n}(x^{n}).$$
证明:存在某一常数$c$使得$(x-1)^{n}|\prod\limits_{i=1}^{n}(f_{i}(x)-c).$

\textbf{分析\quad}首先,应该能够想到考虑$x^{n-1}+\cdots+x+1=0$的$n-1$个不同的复根$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{n-1}$都是$f_{1}(x^{n})+x f_{2}(x^{n})+\cdots+x^{n-1}f_{n}(x^{n})$的根,于是有
$$\left\{
\begin{aligned}
f_1(1)+\varepsilon_1f_2(1)+\cdots+\varepsilon_1^{n-1}f_n(1)&=0,\\
f_1(1)+\varepsilon_2f_2(1)+\cdots+\varepsilon_2^{n-1}f_n(1)&=0,\\
\cdots\cdots\\
f_1(1)+\varepsilon_{n-1}f_2(1)+\cdots+\varepsilon_{n-1}^{n-1}f_n(1)&=0,\\
\end{aligned}
\right.$$
但是,这没用,这是关于$n$个未知量$f_1(1),f_2(1),\cdots,f_n(1)$的$n-1$个方程构成的方程组,系数矩阵不是方阵.

当$n=2$时,由$x+1|f_1(x^2)+xf_2(x^2)$可得
$$f_1(1)-f_2(1)=0,$$
于是$f_1(1)=f_2(1),$令$c=f_1(1)$即可知结论成立.

当$n=3$时,设$x^2+x+1=0$的两个不同的复根为$\varepsilon_1,\varepsilon_2,$则
$$\varepsilon_i^3=1,\varepsilon_i^2+\varepsilon_i+1=0,i=1,2,$$
由$x^2+x+1|f_1(x^3)+xf_2(x^3)+x^2f_3(x^3),$有
$$
\left\{
\begin{aligned}
f_1(1)+\varepsilon_1f_2(1)+\varepsilon_1^2f_3(1)&=0,\\
f_1(1)+\varepsilon_2f_2(1)+\varepsilon_2^2f_3(1)&=0,\\
\end{aligned}
\right.
$$
欲证明存在常数$c$使得$(x-1)^3|(f_1(x)-c)(f_2(x)-c)(f_3(x)-c),$显然考虑$f_i(1)-c=0(i,2,3)$即可,也就是$f_1(1)=f_2(1)=f_3(1)=c.$

考虑
$$
\left\{
\begin{aligned}
f_1(1)+\varepsilon_1f_2(1)+\varepsilon_1^2f_3(1)&=0,\\
f_1(1)+\varepsilon_2f_2(1)+\varepsilon_2^2f_3(1)&=0,\\
\end{aligned}
\right.
$$
如何得到$f_1(1)=f_2(1)=f_3(1)=c?$注意到$\varepsilon_i^2=-\varepsilon_i-1,i=1,2,$于是有
$$
\left\{
\begin{aligned}
(f_1(1)-f_3(1))+\varepsilon_1(f_2(1)-f_3(1))&=0,\\
(f_1(1)-f_3(1))+\varepsilon_2(f_2(1)-f_3(1))&=0,\\
\end{aligned}
\right.
$$
显然$f_1(1)=f_2(1)=f_3(1),$于是结论成立.由此,一般情况也可以证明了.

\textbf{证\quad}考虑$x^{n-1}+\cdots+x+1=0$的$n-1$个不同的复根$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{n-1},$由条件知它们都是$f_{1}(x^{n})+x f_{2}(x^{n})+\cdots+x^{n-1}f_{n}(x^{n})$的根,于是有
$$\left\{
\begin{aligned}
f_1(1)+\varepsilon_1f_2(1)+\cdots+\varepsilon_1^{n-1}f_n(1)&=0,\\
f_1(1)+\varepsilon_2f_2(1)+\cdots+\varepsilon_2^{n-1}f_n(1)&=0,\\
\cdots\cdots\\
f_1(1)+\varepsilon_{n-1}f_2(1)+\cdots+\varepsilon_{n-1}^{n-1}f_n(1)&=0,\\
\end{aligned}
\right.$$
注意到
$$\varepsilon_i^{n-1}=-1-\varepsilon_i-\cdots-\varepsilon_i^{n-2},$$
于是
$$\left\{
\begin{aligned}
(f_1(1)-f_n(1))+\varepsilon_1(f_2(1)-f_n(1))+\cdots+\varepsilon_1^{n-2}(f_{n-1}(1)-f_n(1))&=0,\\
(f_1(1)-f_n(1))+\varepsilon_2(f_2(1)-f_n(1))+\cdots+\varepsilon_2^{n-2}(f_{n-1}(1)-f_n(1))&=0,\\
\cdots\cdots\\
(f_1(1)-f_n(1))+\varepsilon_{n-1}(f_2(1)-f_n(1))+\cdots+\varepsilon_{n-1}^{n-2}(f_{n-1}(1)-f_n(1))&=0,\\
\end{aligned}
\right.$$
显然,此关于未知量$(f_1(1)-f_n(1)),(f_2(1)-f_n(1)),\cdots,(f_{n-1}(1)-f_n(1))$的方程组只有零解,故令
$$c=f_1(1)=f_2(1)=\cdots=f_n(1),$$
可知结论成立.

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