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[原创]专题:两个矩阵同时相似对角化问题.

专题:关于两个矩阵同时相似对角化问题及其应用. 高等代数资源网

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2. 同时相似对角化问题 \begin{definition}%
设$A,B\in F^{n\times n},$若存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP,P^{-1}BP$同时为对角阵,则称$A,B$同时相似对角化.
\end{definition}

Example 1. $A,B$为$n$阶方阵,且$A$有$n$个不同特征值$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n},$且$AB=BA.$则存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP,P^{-1}BP$同时为对角阵.并且$B$可以唯一表示为$A$次数不超过$n-1$的多项式.

\zheng 由题设知,存在可逆矩阵$P$使得
$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
\lambda_{1}& &\\
& \ddots&\\
&&\lambda_{n}
\end{pmatrix}
$$
由$AB=BA$有
$$P^{-1}APP^{-1}BP=P^{-1}BPP^{-1}AP$$

$$\begin{pmatrix}
\lambda_{1}& &\\
& \ddots&\\
&&\lambda_{n}
\end{pmatrix}P^{-1}BP=P^{-1}BP\begin{pmatrix}
\lambda_{1}& &\\
& \ddots&\\
&&\lambda_{n}
\end{pmatrix}$$
而$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$互不相同,由与对角元互不相同的对角矩阵可换的矩阵只能为对角阵,可知$P^{-1}BP$也是对角阵.

设$P^{-1}BP=diag(\mu_{1},\cdots,\mu_{n}),f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},$且
$$B=f(A)=a_{n-1}A^{n-1}+\cdots+a_{1}A+a_{0}E,$$
于是
$$P^{-1}BP=P^{-1}f(A)P=a_{n}P^{-}A^{n}P+\cdots+a_{1}P^{-1}AP+a_{0}P^{-1}EP,$$
从而有
$$
\left\{
\begin{aligned}
\mu_{1}=a_{n-1}\lambda_{1}^{n-1}+\cdots+a_{1}\lambda_{1}+a_{0}\\
\mu_{2}=a_{n-1}\lambda_{2}^{n-1}+\cdots+a_{1}\lambda_{2}+a_{0}\\
\cdots\cdots\\
\mu_{n}=a_{n-1}\lambda_{n}^{n-1}+\cdots+a_{1}\lambda_{n}+a_{0}\\
\end{aligned}
\right.
$$
易知此关于$a_{n-1},\cdots,a_{1},a_{0}$为未知量的线性方程组有唯一解.从而结论成立.

Example 2. 设$A,B\in P^{n\times n}$,$A$有$n$个互异的特征值.证明:$AB=BA$的充要条件是$B$是
$E,A,A^{2},\cdots,A^{n-1}$的线性组合.

Example 3. 设$V$是数域$P$上的$n$维线性空间,$\sigma,\tau$是$V$的线性变换,$\sigma$有$n$个互异的特征值.证明:$\tau$与$\sigma$可换的充要条件是$\tau$是$I,\sigma,\sigma^{2},\cdots,\sigma^{n-1}$的线性组合.

Example 4. $A,B$为复数域上的两个$n$阶矩阵,已知$A$有$n$个互异的特征值,且$A$的特征向量都是$B$的特征向量.证明:$AB=BA.$

Example 5. $n$阶矩阵$A,B$都可对角化,且$AB=BA.$则存在可逆矩阵$P$使得$$P^{-1}AP,P^{-1}BP$$同时为对角阵.

\zheng 设$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{s}$为$A$的全部互异的特征值,其重数分别为$r_{1},\cdots,r_{s}.$则存在可逆矩阵$Q$使得
$$Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}
\lambda_{1}E_{r_{1}}& & \\
&\ddots & \\
& &\lambda_{s}E_{r_{s}}
\end{pmatrix}
$$
由$AB=BA$有
$$Q^{-1}AQQ^{-1}BQ=Q^{-1}BQQ^{-1}AQ$$

$$Q^{-1}BQ=\begin{pmatrix}
B_{1}& & \\
&\ddots & \\
& &B_{s}
\end{pmatrix}
$$

其中$B_{i}$为$r_{i}$阶方阵.由于$B$可以对角化,故$B_{i}$也可对角化.设存在$r_{i}$阶可逆阵$R_{i}$使得
$$R_{i}^{-1}B_{i}R_{i},i=1,\cdots,s$$
为对角阵.令
$$R=\begin{pmatrix}
R_{1}& & \\
&\ddots & \\
& &R_{s}
\end{pmatrix}
$$
则$P=QR$可逆,且使得结论成立.

Example 6. $A,B$为$n$阶矩阵,且$AB=BA.$证明:若$A,B$都相似于对角阵,则$A+B$也相似于对角阵.
Example 7. $A,B\in F^{n\times n},$且$A,B$均相似于对角阵.则存在可逆阵$P\in F^{n\times n}$使得$P^{-1}AP,P^{-1}BP$同时为对角阵的充要条件为$AB=BA.$

\zheng 充分性.上题已证明.
必要性.设
$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
\lambda_{1}& & \\
&\ddots & \\
& &\lambda_{n}
\end{pmatrix},
P^{-1}BP=\begin{pmatrix}
\l_{1}& & \\
&\ddots & \\
& &\l_{n}
\end{pmatrix}
$$

$$P^{-1}APP^{-1}BP=P^{-1}BPP^{-1}AP$$
即$AB=BA.$

Example 8. $A,B\in F^{n\times n},AB=BA,A,B$的初等因子全为一次的(最小多项式无重根),则$A,B$可同时对角化.

Example 9. $A,B\in F^{n\times n},A^{2}=A,B^{2}=B,AB=BA.$则$A,B$可同时对角化.

Example 10. $A,B\in F^{n\times n},A^{2}=B^{2}=E,AB=BA.$则$A,B$可同时对角化.

Example 11. $A,B\in C^{n\times n},A^{k}=B^{k}=E,AB=BA.$则$A,B$可同时对角化.

Example 12. %
$A,B\in F^{n\times n},A^{2}=4E,B^{2}=B,AB=BA.$则$A,B$可同时对角化.

\end{document}

百度云:http://pan.baidu.com/s/1uv8Tm

 

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2 条留言  访客:2 条  博主:0 条

  1. 刘青

    这个专题拓展的知识面宽。

  2. 涛涛

    请问example5中:由于B可以对角化,故Bi也可对角化
    这一步的成立的原因是什么?

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