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[原创]高等代数问题解答81

1. 高等代数问题解答81

Example 1. 设$A,B$为$n$阶实对称矩阵,若$AB+BA$为正定矩阵,求证$r(A)=r(B)=n$.

\textbf{证明:}(法1)只证明$r(A)=n$.反证法,若$r(A)<n$,则线性方程组$Ax=0$有非零解,设为$x_0,$即$Ax_0=0,x_0\neq0,$于是$x_0^TA=0,$由$AB+BA$为正定矩阵有
$$0<x_0^T(AB+BA)x_0=x_0^TABx_0+x_)^TBAx_0=0,$$
矛盾.所以结论成立.

(法2)设$\lambda$为$A$的任一特征值,$\alpha$为对应特征向量,即$A\alpha=\lambda\alpha,\alpha\neq0.$于是由$AB+BA$正定有
$$0<\alpha^T(AB+BA)\alpha=2\lambda\alpha^TB\alpha,$$
于是$\lambda\neq0,$即$A$的特征值都不是0,从而$A$可逆.

(法3)首先,有如下的结论

命题:设$C$为$n$阶实方阵,若$C+C^T$正定,则$|C|>0.$

\textbf{证明:}证明的方法比较多,只列出一种.设$\lambda$是$C$的任一实特征值,$\alpha$为对应的实特征向量,即$C\alpha=\lambda\alpha,\alpha\neq0,$于是
$$0<\alpha^T(C+C^T)\alpha=2\lambda\alpha^T\alpha,$$
从而$\lambda>0,$又$A$的虚特征值成对出现且互为共轭,故$|C|>0.$

现在回到原问题,令$C=AB,$则由条件可知$C+C^T$正定,于是$0<|C|=|AB|=|A||B|,$从而$|A|\neq0.$

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