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[原创]高等代数问题解答80

1. 高等代数问题解答80

Example 1. 设$A$为$n$阶实对称矩阵,$C$为$n$阶实矩阵,求证$B=\begin{pmatrix}
A&C^{T}\\
C&0
\end{pmatrix}$为半正定矩阵的充要条件是$A$半正定且$C=0$.

\textbf{证明:}充分性.显然.

必要性.首先, $A$的各阶顺序主子式是$B$的前$n$阶顺序主子式,由$B$半正定可知$B$的前$n$阶顺序主子式大于等于0,从而$A$半正定.其次半正定矩阵的一个对角元为0,则该对角元所在的行与列的元素都为0(事实上, 若不然, 利用半正定矩阵的二阶主子式大于等于0可得矛盾),由此可知$C=0.$

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