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[原创]高等代数问题解答78

1. 高等代数问题解答78 Example 1. (湖南师范大学,2017)设$W_1,W_2$是$n$维线性空间$V$的两个子空间,证明:存在一个线性变换$\sigma$使得$\ker\sigma=W_1,\mathrm{Im}\sigma=W_2$当且仅当$\dim W_1+\dim W_2=n.$ \textbf{证明:}必要性.显然. 充分性.设$dim W_1=n_1,dim W_2=n_2,$若$n_{1},n_{2}$中有一个为0时,易证. 下设$n_{1}\neq0,n_{2}\neq0,$且$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n...
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[原创]高等代数问题解答77

1. 高等代数问题解答77 Example 1. 设正整数$m,n,a\neq0,(m,n)=1$,$n$为偶数,求证:$(x^{m}-a^{m},x^{n}+a^{n})=1.$ \textbf{证明:}反证法.若$(x^{m}-a^{m},x^{n}+a^{n})=d(x)\neq1,$则存在复数$\beta$使得$d(\beta)=0,$于是 $$\beta^{m}-a^{m}=0,\beta^{n}+a^{n}=0,$$ 由$(m,n)=1$以及$n$为偶数知$m$为奇数且存在整数$u,v$使得$mu+nv=1,$这样 $$\begin{aligned}% \beta&=\beta^{mu+nv...
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[原创]高等代数问题解答76

1. 高等代数问题解答76 Example 1. (苏州大学2015)设$A,B$为$n$阶实矩阵,$rank(A)$表示$A$的秩.证明: (1)$rank(AB)=rank(A)$的充分必要条件为存在$n$阶矩阵$C$使得$ABC=A;$ (2)若$rank(AB)=rank(A)$且$(AB)^{2}=AB,$则$(BA)^{2}=BA.$ \textbf{证明:} (1)充分性.由$ABC=A$有 $$rank(A)=rank(ABC)\leq rank(AB)\leq rank(A),$$ 所以$rank(AB)=rank(A).$ 必要性.将$A,AB$分别按列分...
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[原创]高等代数问题解答75

1. 高等代数问题解答75 Example 1. 设$A\in R^{n\times n}$是正定矩阵,$X_{0}\in R^{n}$为$AX=b$的解,则二次函数 $$P(X)=\dfrac{1}{2}X^{T}AX-X^{T}b$$ 在$X_{0}$处达到最小值. \textbf{解:} 由$A$正定知存在可逆矩阵$P$使得$P^{T}AP=E,$于是令$X=PY$,设 $$Y=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})^{T},P^{T}AX_{0}=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})^{T},$$ 则 $$\begin{aligned}% P(X)&=\dfrac{1}{2}X^{T}A...

[原创]高等代数问题解答73

1. 高等代数问题解答73 Example 1. 设$A$是实数域上的$n$阶方阵,向量$\alpha\in R^{n}$(实数域$R$上的$n$维列向量),使得 $$\alpha,A\alpha,A^{2}\alpha,\cdots,A^{n-1}\alpha$$ 是$R^{n}$的一个基.如果$R$上的$n$阶方阵$B$满足$AB=BA,$证明: (1)存在实数域$R$上的一个次数不超过$n-1$的多项式$f(x)$使得$B\alpha=f(A)\alpha$; (2)对于(1)中找到的多项式$f(x)$,必有$B=f(A).$ \textbf{证明:} 由条...

[原创]高等代数问题解答72

1. 高等代数问题解答72 Example 1. 设$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$是整系数多项式,$p$是素数,满足: (1)$f(x)$无有理根; (2)$p\nmid a_{n};$ (3)$p|a_{i},i=0,1,2,\cdots,n-2;$ (4)$p^2\nmid a_{0}.$ 证明:$f(x)$在有理数域$Q$上不可约. \textbf{证明:} 反证法.若$f(x)$在有理数域$Q$上可约,则$f(x)$可以分解为两个次数比$f(x)$的次数低的整系数多项式的乘积,设 $$f(x)=(b_{m}x^{m}+\c...

[原创]高等代数问题解答71

1. 高等代数问题解答71 Example 1. (中山大学2012)令$S=\{AB-BA:A,B\in M_{n}(F)\}.$证明:$S$张成的子空间$W=span(S)$的维数等于$n^{2}-1,$并且给出它的一个基. \textbf{证明:} 用$e_{i}$表示第$i$个分量为1,其余分量为0的$n$维列向量,即$e_{i}=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)^{T},$用$E_{ij}$表示$(i,j)$元素为1,其余元素为0的$n$阶方阵,则 $$e_{i}^{T}e_{i}=1,e_{i}^{T}e_{j}=e_{j}^{T}e_{i}=0(i\n...

[原创]高等代数问题解答70

1. 高等代数问题解答70 Example 1. (南京航空航天大学2015)设$n$阶实矩阵$A$的$n$个特征值均为实数,且$AA^{T}=A^{T}A,$证明: (1)若$\alpha$是$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量,则$\alpha$也是$A^{T}$的属于特征值$\lambda$的特征向量; (2)若$\lambda$是$A$的任一特征值,则$\lambda^{2}$也是$AA^{T}$的特征值; (3)$A$的属于不同特征值的特征向量一定正交. \textbf{证明:} (1)由条件有 $$A\alph...

[原创]高等代数问题解答69

1. 高等代数问题解答69 Example 1. (湘潭大学2005)设$n$维欧氏空间$V$中的$n+1$个向量$\alpha_{0},\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$两两的距离都是$d>0,$即$|\alpha_{i}-\alpha_{j}|=d,i,j=0,1,\cdots,n,i\neq j.$令$\beta_{i}=\alpha_{i}-\alpha_{0},i=1,2,\cdots,n.$证明: (1)$(\beta_{i},\beta_{j})=\dfrac{d^{2}}{2},i,j=1,2,\cdots,n,i\neq j;$ (2)$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$是$V...
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