[原创]高等代数问题解答82

1. 高等代数问题解答82 Example 1. 设$A,B$为$n$阶正定矩阵,令$M=\{X\in R^n|X^TAX\leq1\},N=\{X\in R^n|X^TBX\leq1\}$,证明$M\subseteq N$的充要条件是$B-A$半负定. \textbf{证明:}充分性.任取$X\in M,$则$X^TAX\leq1,$于是$X\neq0,$由$B-A$半负定有 $$X^T(B-A)X\leq0,$$ 于是$X^TBX\leq X^TAX\leq1,$从而$X\in N.$ 必要性.由于$A,B$都是正定矩阵,故存在可逆矩阵$P$使得 $$A=P^TEP,B=P^Tdiag(\...
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