[原创]高等代数问题解答79

1. 高等代数问题解答79 Example 1. 设$A$为$n$阶实对称矩阵,$B=(b_1,b_2,\cdots,b_m)$,$b_j$都是$n$维列向量,$m<n,b_i^Tb_j=\begin{cases} 1,&i=j\\ 0,&i\neq j \end{cases}$.证明存在$C=(c_{ij})_{n\times m}$,使得$\sum\limits_{k=1}^{n}c_{kr}c_{ks}=\begin{cases} 1,&r=s\\ 0,&r\neq s \end{cases}$,且$\sum\limits_{i=1}^n\lambda_ic_{ij}^2(j=1,2,\cdots,m)$为$B^TAB$的...

[原创]高等代数问题解答78

1. 高等代数问题解答78 Example 1. (湖南师范大学,2017)设$W_1,W_2$是$n$维线性空间$V$的两个子空间,证明:存在一个线性变换$\sigma$使得$\ker\sigma=W_1,\mathrm{Im}\sigma=W_2$当且仅当$\dim W_1+\dim W_2=n.$ \textbf{证明:}必要性.显然. 充分性.设$dim W_1=n_1,dim W_2=n_2,$若$n_{1},n_{2}$中有一个为0时,易证. 下设$n_{1}\neq0,n_{2}\neq0,$且$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n...

[原创]高等代数问题解答77

1. 高等代数问题解答77 Example 1. 设正整数$m,n,a\neq0,(m,n)=1$,$n$为偶数,求证:$(x^{m}-a^{m},x^{n}+a^{n})=1.$ \textbf{证明:}反证法.若$(x^{m}-a^{m},x^{n}+a^{n})=d(x)\neq1,$则存在复数$\beta$使得$d(\beta)=0,$于是 $$\beta^{m}-a^{m}=0,\beta^{n}+a^{n}=0,$$ 由$(m,n)=1$以及$n$为偶数知$m$为奇数且存在整数$u,v$使得$mu+nv=1,$这样 $$\begin{aligned}% \beta&=\beta^{mu+nv...

[原创]高等代数问题解答76

1. 高等代数问题解答76 Example 1. (苏州大学2015)设$A,B$为$n$阶实矩阵,$rank(A)$表示$A$的秩.证明: (1)$rank(AB)=rank(A)$的充分必要条件为存在$n$阶矩阵$C$使得$ABC=A;$ (2)若$rank(AB)=rank(A)$且$(AB)^{2}=AB,$则$(BA)^{2}=BA.$ \textbf{证明:} (1)充分性.由$ABC=A$有 $$rank(A)=rank(ABC)\leq rank(AB)\leq rank(A),$$ 所以$rank(AB)=rank(A).$ 必要性.将$A,AB$分别按列分...

[原创]高等代数问题解答75

1. 高等代数问题解答75 Example 1. 设$A\in R^{n\times n}$是正定矩阵,$X_{0}\in R^{n}$为$AX=b$的解,则二次函数 $$P(X)=\dfrac{1}{2}X^{T}AX-X^{T}b$$ 在$X_{0}$处达到最小值. \textbf{解:} 由$A$正定知存在可逆矩阵$P$使得$P^{T}AP=E,$于是令$X=PY$,设 $$Y=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})^{T},P^{T}AX_{0}=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})^{T},$$ 则 $$\begin{aligned}% P(X)&=\dfrac{1}{2}X^{T}A...

[转载]扬州大学2018年全日制硕士研究生初试试卷下载

资料来自官方网站 http://yjszs.yzu.edu.cn/col/col37113/index.html 或者从百度网盘下载 数学分析与高等代数综合 链接:https://pan.baidu.com/s/1xEoJOQ0Mq2R_tkZcUTID5w 提取码:f6ww 数学分析 链接:https://pan.baidu.com/s/1_IYFB-pdaM6GqASknuULrg 提取码:a9ks 高等代数(理) 链接:https://pan.baidu.com/s/1RLmUYoHEcDJSiP4-qDAkzA 提取码:vrad 高等代数(工) 链接:https://pan.baidu.com...
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