[原创]高等代数问题解答82

1. 高等代数问题解答82 Example 1. 设$A,B$为$n$阶正定矩阵,令$M=\{X\in R^n|X^TAX\leq1\},N=\{X\in R^n|X^TBX\leq1\}$,证明$M\subseteq N$的充要条件是$B-A$半负定. \textbf{证明:}充分性.任取$X\in M,$则$X^TAX\leq1,$于是$X\neq0,$由$B-A$半负定有 $$X^T(B-A)X\leq0,$$ 于是$X^TBX\leq X^TAX\leq1,$从而$X\in N.$ 必要性.由于$A,B$都是正定矩阵,故存在可逆矩阵$P$使得 $$A=P^TEP,B=P^Tdiag(\...

[原创]高等代数问题解答81

1. 高等代数问题解答81 Example 1. 设$A,B$为$n$阶实对称矩阵,若$AB+BA$为正定矩阵,求证$r(A)=r(B)=n$. \textbf{证明:}(法1)只证明$r(A)=n$.反证法,若$r(A)<n$,则线性方程组$Ax=0$有非零解,设为$x_0,$即$Ax_0=0,x_0\neq0,$于是$x_0^TA=0,$由$AB+BA$为正定矩阵有 $$0<x_0^T(AB+BA)x_0=x_0^TABx_0+x_)^TBAx_0=0,$$ 矛盾.所以结论成立. (法2)设$\lambda$为$A$的任一特征值,$\alpha$为对应...

[原创]高等代数问题解答80

1. 高等代数问题解答80 Example 1. 设$A$为$n$阶实对称矩阵,$C$为$n$阶实矩阵,求证$B=\begin{pmatrix} A&C^{T}\\ C&0 \end{pmatrix}$为半正定矩阵的充要条件是$A$半正定且$C=0$. \textbf{证明:}充分性.显然. 必要性.首先, $A$的各阶顺序主子式是$B$的前$n$阶顺序主子式,由$B$半正定可知$B$的前$n$阶顺序主子式大于等于0,从而$A$半正定.其次半正定矩阵的一个对角元为0,则该对角元所在的...

[原创]高等代数问题解答79

1. 高等代数问题解答79 Example 1. 设$A$为$n$阶实对称矩阵,$B=(b_1,b_2,\cdots,b_m)$,$b_j$都是$n$维列向量,$m<n,b_i^Tb_j=\begin{cases} 1,&i=j\\ 0,&i\neq j \end{cases}$.证明存在$C=(c_{ij})_{n\times m}$,使得$\sum\limits_{k=1}^{n}c_{kr}c_{ks}=\begin{cases} 1,&r=s\\ 0,&r\neq s \end{cases}$,且$\sum\limits_{i=1}^n\lambda_ic_{ij}^2(j=1,2,\cdots,m)$为$B^TAB$的...

[原创]高等代数问题解答78

1. 高等代数问题解答78 Example 1. (湖南师范大学,2017)设$W_1,W_2$是$n$维线性空间$V$的两个子空间,证明:存在一个线性变换$\sigma$使得$\ker\sigma=W_1,\mathrm{Im}\sigma=W_2$当且仅当$\dim W_1+\dim W_2=n.$ \textbf{证明:}必要性.显然. 充分性.设$dim W_1=n_1,dim W_2=n_2,$若$n_{1},n_{2}$中有一个为0时,易证. 下设$n_{1}\neq0,n_{2}\neq0,$且$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n...

[原创]高等代数问题解答77

1. 高等代数问题解答77 Example 1. 设正整数$m,n,a\neq0,(m,n)=1$,$n$为偶数,求证:$(x^{m}-a^{m},x^{n}+a^{n})=1.$ \textbf{证明:}反证法.若$(x^{m}-a^{m},x^{n}+a^{n})=d(x)\neq1,$则存在复数$\beta$使得$d(\beta)=0,$于是 $$\beta^{m}-a^{m}=0,\beta^{n}+a^{n}=0,$$ 由$(m,n)=1$以及$n$为偶数知$m$为奇数且存在整数$u,v$使得$mu+nv=1,$这样 $$\begin{aligned}% \beta&=\beta^{mu+nv...

[原创]高等代数问题解答76

1. 高等代数问题解答76 Example 1. (苏州大学2015)设$A,B$为$n$阶实矩阵,$rank(A)$表示$A$的秩.证明: (1)$rank(AB)=rank(A)$的充分必要条件为存在$n$阶矩阵$C$使得$ABC=A;$ (2)若$rank(AB)=rank(A)$且$(AB)^{2}=AB,$则$(BA)^{2}=BA.$ \textbf{证明:} (1)充分性.由$ABC=A$有 $$rank(A)=rank(ABC)\leq rank(AB)\leq rank(A),$$ 所以$rank(AB)=rank(A).$ 必要性.将$A,AB$分别按列分...
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